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线性代数模拟题(开卷)

中国地质大学(北京)继续教育学院2016 年 03 课程考试《线性代数》模拟题(补)一.单项选择题 1.设 A 为 n 阶矩阵,且 A  2 ,则 2 A  ( C A. 2n) 。n 1B. 2n 1C. 2D.4 ) 。2. n 维向量组1, 2, , s (3  s  n)线性无关的充要条件是( CA. 1, 2, , s 中任意两个向量都线性无关 B. 1, 2, , s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 C. 1, 2, , s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 D. 1, 2, , s 中不含零向量 3.下列命题中正确的是( D ) 。 B.任意 n 个 n  1 维向量线性无关 D.任意 n  1 个 n 维向量线性相关任意 ) 。 D.r(A)=r(A,B)A.任意 n 个 n  1 维向量线性相关 C. n  1 个 n 维向量线性无关4.n 元非齐次线性方程组 AX=B 有唯一解的充要条件是( B A.r(A)=n B.r(A)=r(A,B)=n C.r(A)=r(A,B)

中国地质大学(北京)继续教育学院2016 年 03 课程考试1 0 1. 1 32 3 1 20 0 2 10 0  0 318。x1  x 2  x3  0   1。 2.若齐次线性方程组  x1  x 2  x3  0 只有零解,则  应满足 λ  2且且  x  x  x  0 2 3  13.当 k= k=4 时,向量组  1  (1,2,1), 2  (2, k ,2) 线性相关。4. A    1  1 -1   ,则 A = 0 2   1 A 1    0 1  2 1  2。 24 。5.矩阵 A 的特征值分别为 1, -1, 2, 则|A2+2I|=2 2 2 6.写出二次型 f ( x1, x2 , x3 )  x1  4x2  2x3  5x1x2  4x1x3  6x2 x3 对应的对称矩阵2  1 5 2 5   2 4  3 。 2 3 2   三.计算题 1   1    2   a       2     1 1   ,  a  ,3   。 1.问 a 取何值时,下列向量组线性无关? 1    2  2 2   1    1 a        2    2  解:第 2 页(共 6 页)

中国地质大学(北京)继续教育学院2016 年 03 课程考试a 1 1 2 21 a 12121 1 a21 1 a2 2 1  (a  1) 1 2 2 a2 1 1 2 1  (a  1) 0 a  2 0 0 1  (a  1)(a  ) 2  0 21 11 02a 12即 a  1或a  1 时向量组线性无关. 2 2 0 0   2.求 A   0 3 0  的全部特征值和特征向量。  0 2 3  解:2 I  A 0 000 0  (  2)(  3)2  0 332特征值 1  2  3, 3  2 。1 0 0 1 0 0  0       对于 1  2  3, 1 I  A  0 0 0  0 1 0 ,     特征向量为 k 0 , k  0 ;     0  2 0   0 0 0  1   0 0 0  0 0 0 1        对于 3  2, 3 I  A  0  1 0  0 1 0 ,特征向量为 k 0 , k  0 。            0  2  1 0 0 1      0 a 1 0 0 0 a 1 a 3.求行列式 的值。 0 0 a 1 1 1 1 a 1解:第 3 页(共 6 页)

中国地质大学(北京)继续教育学院2016 年 03 课程考试a 1 0 0 1 a 0 10 1 a 1a 1 0 1 0 0 0 a 0 a 1  (1)5 a 1 0 1 1 1 a 1 0 a 1 a 1 =a 2 a 1 1 0 a 1 1 a 1 a 10=a 4  a 3  a 2  a  1 2 1  2 1 0 0     4.已知矩阵 A    1  1 2 , B   0 2 0  ,求 ( AB)1 。 3 1  0 0 3 3     解:因为 ( AB ) 1  B 1 A1 , B 1  1 0 1  0  2  0 0   0 0 ,  3  20 1 0  1 0 0 0 0 1 1 2  2  A I     1  1 2  3 1 3  1 1 2    0 1 2  0 2 9  1 0 0   0 1  2 0 0 1      19 5 2 51 0 0   1  1 2   0 1 0   2 1 2  0 0 1 1 3   3 0 0 1 2 0 5 0 0 1 0 0 10 1 0   1   1 2 0   0  0 3 1   0 1 1 0  1    1  2 0   0 0 2 1 1 5 5 5  1  1 0  1 2 0  2  1 1  1 1 0  9 12 2 5 5 5 2 1 1 5 5 5   1 9   10 3   5 1 6 5 3 10   0 1 5 3  10 112 5 1 5A 10  1 2  B 1 A 1 5  ,所以 ( AB ) 1 55.求向量组 1  (1,2,1,2), 2  (1,7,1,6),3  (1,1,2,0),  4  (4,2,5,6) 的极大无关组, 并用极大无关组表示其余向量。 解:第 4 页(共 6 页)

中国地质大学(北京)继续教育学院2016 年 03 课程考试1  2 A 1  2  1  0  0  0 4  1   7  1 2  0   1 2 5  0    6 0 6  0 1 1 4  1   1  1  4  0  0  1  7  0    0 0 0   0 1 11 5 2 4 0 0 1 0 0 1 0 04  1 1 1 4      3  6  0 1  1  4  1 1  0  2 1 1       2  2 0 0   0 0  ,  6  3  7   0   1因此,极大无关组为 1 ,  2 ,  3 且 4  61  3 2  7 3 。 2 1 1   1 6.已知矩阵 A   1 2 1  ,求正交矩阵 T 使得 T AT 为对角矩阵。  1 1 2  解:21) 首先求其特征值: | I  A |11  1  (  4)(  1) 2  0 , 21 121其特征根为: 1   2  1, 3  4. 2) 求各特征值的特征向量,当 1   2  1 时求得特征向量为 (1,1,0)T , (1,0,1)T , 将其正交化得 ( 1,1,0) , ( T1 1 T , ,1) , 再将其单位化得 2 2(1 1 1 1 2 T , ,0)T , (  , , ) 2 2 6 6 2T当  3  4 时特征向量为 (1,1,1) ,将其单位化得 (1 1 1 T , , ) . 3 3 3 1  2   1 3)所得正交矩阵 T    2   0  11 6 1  6 2 6 1   3 1  , 3 1   3T1    AT   1  为对角矩阵.  4  第 5 页(共 6 页)

中国地质大学(北京)继续教育学院2016 年 03 课程考试四.证明题 1.设 n 阶方阵 A 满足 A  A  2 I  0 ,求证 A 和(A-I)都可逆并求其逆。2证明:因为 A  A  2 I  0 ,所以有2A2  A  2I  A( A  I )  2I  0 ,即1 A( A  I )  I ,由定义可知 A 和(A-I)都可逆,且 2 (A  I) A A 1  , ( A  I ) 1  . 2 22.设 n 阶方阵 A 满足 A  A  3 I  0 ,求证 A-2I 和 A+I 都可逆。2证明:因为 A  A  3 I  0 ,故 A  A  3 I  A  A  2 I  I ,即2 2 2( A  2I )( A  I )  A2  A  2I  I ,由定义可知 A-2I 和 A+I 都可逆。第 6 页(共 6 页)